Les mathématiques peuvent-elles être réduites la logique sans avoir à faire appel à des principes qui leur soient propres ? Il y a toute une école, pleine d'ardeur et de foi, qui s'efforce de l'établir. Elle a son langage spécial où il n'y a plus de mots et où on ne fait usage que de signes. Ce langage n'est compris que de quelques initiés, de sorte que les profanes sont disposés à s'incliner devant les affirmations tranchantes des adeptes. Il n'est peut-être pas inutile d'examiner ces affirmations d'un peu près, afin de voir si elles justifient le ton péremptoire avec lequel elles sont présentées.

Можно ли математику свести к логике, не обращаясь предварительно к тем принципам, которые ей, математике, свойственны? Существует школа математиков, которая со всей страстью и верой в дело стремится доказать это. Она выработала специальный язык, в котором нет больше слов, а имеются одни только знаки. Этот язык понятен только немногим посвященным, так что профаны склонны преклоняться перед категорическими утверждениями горячих адептов. Небесполезно, однако, ближе исследовать эти утверждения, чтобы убедиться, насколько оправдывается тот категорический тон, с которым они высказываются.

Mais pour bien faire comprendre la nature de la question, il est nécessaire d'entrer dans quelques détails historiques et de rappeler en particulier le caractère des travaux de Cantor.

Но чтобы понять сущность вопроса, необходимо познакомиться с историческими деталями дела и в особенности вспомнить характер работ Кантора.

Depuis longtemps la notion d'infini avait été introduite en mathématiques ; mais cet infini était es que les philosophes appellent un devenir. L'infini mathématique n'était qu'une quantité susceptible de croître au delà de toute limite ; c'était une quantité variable dont on ne pouvait pas dire qu'elle avait dépassé toutes les limites, mais seulement qu'elle les dépasserait.

Понятие бесконечности уже давно было введено в математику. Но эта бесконечность была такой, какую философы называют потенциальной. В математике бесконечность обозначала количество, способное расти выше или ниже какого бы то ни было предела; это было изменяющееся количество, о котором можно было сказать, что оно перейдет все пределы, но нельзя было сказать, что оно их перешло.

Cantor a entrepris d'introduire en mathématiques un infini actuel, c'est-à-dire une quantité qui n'est pas seulement susceptible de dépasser toutes les limites, mais qui est regardée comme les ayant déjà dépassées. Il s'est posé des questions telles que celles-ci : Y a-t-il plus de points dans l'espace que de nombres entiers ? Y a-t-il plus de points dans l'espace que de points dans un plan ? etc.

Кантор решил ввести в математику актуальную бесконечность, т. е. количество, не только способное перейти все пределы, но уже перешедшее через них. Он поставил себе вопросы вроде следующих: существует ли больше точек в пространстве, чем целых чисел? Существует ли больше точек в пространстве, чем точек на плоскости? И так далее.

Et alors le nombre des nombres entiers, celui des points dans l'espace, etc., constitue ce qu'il appelle un nombre cardinal transfini, c'est-à-dire un nombre cardinal plus grand que tous les nombres cardinaux ordinaires. Et il s'est amusé à comparer ces nombres cardinaux transfinis ; en rangeant dans un ordre convenable les éléments d'un ensemble qui en contient une infinité, il a imaginé aussi ce qu'il appelle des nombres ordinaux transfinis sur lesquels je n'insisterai pas.

Число целых чисел, число точек в пространстве и т. д. составляет то, что Кантор назвал кардинальным трансфинитным числом, т. е. таким количественным числом, которое больше всех обыкновенных количественных чисел. Кантор затем занялся сравнением этих кардинальных трансфинитных чисел. Размещая в соответствующем порядке элементы в совокупности, составленной из бесконечного числа таких элементов, он изобрел так называемые порядковые трансфинитные числа, на которых я не буду здесь останавливаться.

De nombreux mathématiciens se sont lancés sur ses traces et se sont posé une série de questions de même genre. Ils se sont tellement familiarisés avec les nombres transfinis qu'ils en sont arrivés à faire dépendre la théorie des nombres finis de celle des nombres cardinaux de Cantor. A leurs yeux, pour enseigner l'arithmétique d'une façon vraiment logique, on devrait commencer par établir les propriétés générales des nombres cardinaux transfinis, puis distinguer parmi eux une toute petite classe, celle des nombres entiers ordinaires. Grâce à ce détour on pourrait arriver à démontrer toutes les propositions relatives à cette petite classe (c'est-à-dire toute notre arithmétique et notre algèbre) sans se servir d'aucun principe étranger à la logique.

Многие математики последовали за Кантором и поставили ряд аналогичных вопросов. Они в такой степени освоились с трансфинитными числами, что готовы поставить теорию конечных чисел в зависимость от теории кардинальных чисел Кантора. По их мнению, чтобы вести преподавание арифметики по действительно логическому методу, необходимо начать с установления общих свойств кардинальных трансфинитных целых чисел, а затем выделить из них очень небольшой класс обыкновенных целых чисел. Этим способом можно было бы достигнуть цели, т. е. доказать все предложения, относящиеся к этому небольшому классу (т. е. всю нашу арифметику и нашу алгебру), не прибегая ни к какому началу, лежащему вне логики.

Cette méthode est évidemment contraire à toute saine psychologie ; ce n'est certainement pas comme cela que l'esprit humain a procédé pour construire les mathématiques ; aussi ses auteurs ne songent-ils pas, je pense, à l'introduire dans l'enseignement secondaire. Mais est-elle du moins logique, ou pour mieux dire est-elle correcte ? Il est permis d'en douter.

Этот метод, очевидно, противоречит всякой здоровой психологии. Конечно, не этим путем шел человеческий ум, создавая математику; и адепты нового метода, я полагаю, не думают ввести его на ступени среднего образования. Но по крайней мере логичен ли этот метод или, лучше сказать, безошибочен ли он? В этом можно усомниться.

Les géomètres qui l'ont employée sont cependant fort nombreux. Ils ont accumulé les formules et ils ont cru s'affranchir de ce qui n'était pas la logique pure en écrivant des mémoires où les formules n'alternent plus avec le discours explicatif comme dans les livres de mathématiques ordinaires, mais où ce discours a complètement disparu.

Однако геометры, пользовавшиеся этим методом, очень многочисленны. Они собрали массу формул. Написав мемуары, в которых формулы не чередовались со словесными объяснениями, как это делается в обыкновенных математических книгах, а в которых, следовательно, такие объяснения совершенно отсутствуют, они вообразили, что освободились от всего того, что не представляет собой чистой логики.

Malheureusement, ils sont arrivés à des résultats contradictoires, c'est ce qu'on appelle les antinomies cantoriennes, sur lesquelles nous aurons l'occasion de revenir. Ces contradictions ne les ont pas découragés et ils se sont efforcés de modifier leurs règles de façon à faire disparaître celles qui s'étaient déjà manifestées, sans être assurés pour cela qu'il ne s'en manifesterait plus de nouvelles.

К несчастью, они пришли к противоречивым результатам. Это так называемые антиномии Кантора, к которым мы еще вернемся. Эти противоречия, однако, их не обескуражили, и они попытались внести такие изменения в свои правила, при которых обнаружившиеся уже противоречия исчезли; но мы при этом не приобрели уверенности в том, что не обнаружатся новые противоречия.

Il est temps de faire justice de ces exagérations. Je n'espère pas les convaincre ; car ils ont trop longtemps vécu dans cette atmosphère. D'ailleurs, quand on a réfuté une de leurs démonstrations, on est sûr de la voir renaître avec des changements insignifiants, et quelques-unes d'entre elles sont déjà ressorties plusieurs fois de leurs cendres. Telle autrefois l'hydre de Lerne avec ses fameuses têtes qui repoussaient toujours. Hercule s'en est tiré parce que son hydre n'avait que neuf têtes, à moins que ce ne soit onze ; mais ici il y en a trop, il y en a en Angleterre, en Allemagne, en Italie, en France, et il devrait renoncer à la partie. Je ne fais donc appel qu'aux hommes de bon sens sans parti pris.

Настало время для справедливой оценки этих преувеличений. Я не надеюсь убедить упомянутых математиков: слишком долго дышали они своей атмосферой. Да и, кроме того, если вы опровергли одно из их доказательств, вы можете быть уверены, что оно возродится лишь в слегка измененном виде. Некоторые из доказательств уже несколько раз возрождались из пепла, наподобие той лернейской гидры (1),y которой вырастали новые головы. Геркулес выпутался из затруднения, потому что его гидра имела девять голов, если не одиннадцать; но здесь слишком много голов: они имеются в Англии, в Германии, в Италии, во Франции, и Геркулес должен был бы отказаться от состязания. Я обращаюсь поэтому только к непредубежденным людям, обладающим здравым смыслом.

Dans ces dernières années de nombreux travaux ont été publiés sur les mathématiques pures et la philosophie des mathématiques, en vue de dégager et d'isoler les éléments logiques du raisonnement mathématique. Ces travaux ont été analysés et exposés très clairement ici-même par M. Couturat dans un ouvrage intitulé : les Principes des Mathématiques.

В последние годы появилось много трудов, посвященных чистой математике и философии математики, имевших своей задачей выделить и изолировать логические элементы математического рассуждения. Эти труды были ясно изложены и исследованы в работе Кутюра, озаглавленной: "Основания математических наук".

Pour M. Couturat, les travaux nouveaux, et en particulier de MM. Russell et Péano, ont définitivement tranché le débat, depuis si longtemps pendant entre Leibnitz et Kant. Ils ont montré qu'il n'y a pas de jugement synthétique a priori (comme disais Kant pour désigner les jugements qui ne peuvent être démontrés analytiquement), ils ont montré que les mathématiques sont entièrement réductibles à la logique et que l'intuition n'y joue aucun rôle.

По мнению Кутюра, новейшие труды, в особенности работы Рассела и Пеано, окончательно разрешили давний спор между Лейбницем и Кантом (2). Они показали, что не существует синтетического априорного суждения (этим именем Кант называл суждения, которые не могут быть ни доказаны аналитически, ни сведены к тождествам, ни установлены экспериментально); они показали, что математические науки целиком могут быть сведены к логике и что интуиция не играет в них никакой роли.

Все это Кутюра изложил в названном выше сочинении. Еще отчетливее высказал он это в речи, произнесенной на юбилее Канта, высказал так убедительно, что мой сосед сказал в полголоса: "мы видим ясно, что истекло столетие со дня смерти Канта".

Pouvons-nous souscrire à cette condamnation définitive ? Je ne le crois pas et je vais essayer de montrer pourquoi.

Можем ли мы подписаться под этим решительным приговором? Я этого не думаю и постараюсь ниже показать, почему я этого не думаю.

Ce qui nous frappe d'abord dans la nouvelle mathématique, c'est son caractère purement formel : " Pensons, dit Hilbert, trois sortes de choses que nous appellerons points, droites et plans, convenons qu'une droite sera déterminée par deux points et qu'au lieu de dire que cette droite est déterminée par ces deux points, nous pourrons dire qu'elle passe par ces deux points ou que ces deux points sont situés sur cette droite. " Que sont ces choses, non seulement nous n'en savons rien, mais nous ne devons pas chercher à le savoir. Nous n'en avons pas besoin, et quelqu'un, qui n'aurait jamais vu ni point, ni droite, ni plan pourrait faire de la géométrie tout aussi bien que nous. Que le mot passer par, ou le mot être situé sur ne provoquent en nous aucune image, le premier est simplement synonyme de être déterminé et le second de déterminer.

Что нам сразу бросается в глаза в новой математике, так это ее чисто формальный характер, "Вообразим, — говорит Гильберт, — три рода вещей, которые мы назовем точками, прямыми и плоскостями; условимся, что прямая будет определяться двумя точками, и вместо того, чтобы сказать, что данная прямая определяется данными двумя точками, мы будем говорить, что она проходит через эти две точки или что эти две точки расположены на этой прямой". Что это за вещи, мы не только не знаем, но и не должны стремиться узнать. Нам этого не нужно, и всякий, кто никогда не видел ни точки, ни прямой, ни плоскости, так же легко мог бы построить геометрию, как и мы. Слова "проходят через" или "расположены на" не должны вызывать у нас никакого образа, ибо первые являются синонимом слова "определяться", вторые — синонимом слова "определять".

Ainsi c'est bien entendu, pour démontrer un théorème, il n'est pas nécessaire ni même utile de savoir ce qu'il veut dire. On pourrait remplacer le géomètre par le piano à raisonner imaginé par Stanley Jevons ; ou, si l'on aime mieux, on pourrait imaginer une machine où l'on introduirait les axiomes par un bout pendant qu'on recueillerait les théorèmes à l'autre bout, comme cette machine légendaire de Chicago où les porcs entrent vivants et d'où ils sortent transformés en jambons et en saucisses. Pas plus que ces machines, le mathématicien n'a besoin de comprendre ce qu'il fait.

Таким образом, для доказательства теоремы не нужно и даже бесполезно знать, что она хочет сказать. Геометра можно было бы заменить "логической машиной", выдуманной Стенли Джевонсом. Или, если угодно, можно было бы выдумать машину, в которую через один конец были бы введены аксиомы, а в другом конце ее были бы собраны теоремы, наподобие той легендарной машины в Чикаго, в которую вкладывают живых поросят и из которой извлекают окорока и сосиски. Математик, как и эта машина, отнюдь не должен понимать, что он делает.

Ce caractère formel de sa géométrie, je n'en fais pas un reproche à Hilbert. C'était là qu'il devait tendre, étant donné le problème qu'il se posait. Il voulait réduire au minimum le nombre des axiomes fondamentaux de la géométrie et en faire l'énumération complète ; or dans les raisonnements où notre esprit reste actif, dans ceux où l'intuition joue encore un rôle, dans les raisonnements vivants, pour ainsi dire, il est difficile de ne pas introduire un axiome ou un postulat qui passe inaperçu. Ce n'est donc qu'après avoir ramené tous les raisonnements géométriques à une forme purement mécanique, qu'il a pu être certain d'avoir réussi dans son dessein et d'avoir achevé son œuvre.

Я не ставлю в вину Гильберту этот формальный характер его геометрии. Он должен был прийти к ней, разрешая ту проблему, которую он себе ставил. Он хотел довести до минимума число основных аксиом геометрии и перечислить их все без остатка. Но в тех суждениях, в которых наш ум обнаруживает активность, в которых интуиция еще играет роль, трудно отделаться от внесения постулата или аксиомы, которые незаметно входят в суждение. Лишь в случае, если бы все геометрические суждения приняли чисто механическую форму, Гильберт мог бы быть уверенным в том, что он исполнил свое намерение и успешно закончил свою задачу.

Ce que Hilbert avait fait pour la géométrie, d'autres ont voulu le faire pour l'arithmétique et pour l'analyse. Si même ils y avaient entièrement réussi, les Kantiens seraient-ils définitivement condamnés au silence ? Peut-être pas, car en réduisant la pensée mathématique à une forme vide, il est certain qu'on la mutile. Admettons même que l'on ait établi que tous les théorèmes peuvent se déduire par des procédés purement analytiques, par de simples combinaisons logiques d'un nombre fini d'axiomes, et que ces axiomes ne sont que des conventions. Le philosophe conserverait le droit de rechercher les origines de ces conventions, de voir pourquoi elles ont été jugées préférables aux conventions contraires.

То, что Гильберт сделал в геометрии, другие захотели сделать в арифметике и в анализе. Однако если бы они в этом даже и успели, то разве кантианцы были бы осуждены на полное молчание? Может быть, и нет, ибо когда мы сообщаем математической мысли пустую форму, эта мысль, конечно, подвергается искажению. Допустим даже, что удалось установить, что все теоремы могут быть выведены из конечного числа аксиом путем чисто аналитических приемов, путем простых логических комбинаций, и что эти аксиомы суть не что иное, как соглашения. Философ, однако, сохранил бы за собой право исследовать происхождение этих условий и определить, почему эти условия оказались предпочтительными перед противоположными им.

Et puis la correction logique des raisonnements qui mènent des axiomes aux théorèmes n'est pas la seule chose dont nous devions nous préoccuper. Les règles de la parfaite logique sont-elles toute la mathématique ? Autant dire que tout l'art du joueur d'échecs se réduit aux règles de la marche des pièces. Parmi toutes les constructions que l'on peut combiner avec les matériaux fournis par la logique, il faut faire un choix ; le vrai géomètre fait ce choix judicieusement parce qu'il est guidé par un sûr instinct, ou par quelque vague conscience de je ne sais quelle géométrie plus profonde, et plus cachée, qui seule fait le prix de l'édifice construit.

Кроме того, не одна только логическая правильность суждений, ведущих от аксиом к теоремам, должна нас занимать. Разве вся математика исчерпывается правилами совершенной логики? Это было бы все равно, как если бы мы сказали, что все искусство шахматного игрока сводится к правилам хода пешек. Из всех построений, которые могут быть скомбинированы из материалов, доставляемых логикой, нужно сделать выбор. Настоящий геометр и производит этот выбор здраво, руководствуясь верным инстинктом или же некоторым смутным сознанием о — я не знаю какой именно — более глубокой и более скрытой геометрии, которая одна и составляет ценность воздвигнутого здания.

Chercher l'origine de cet instinct, étudier les lois de cette géométrie profonde qui se sentent et ne s'énoncent pas, ce serait encore une belle tâche pour les philosophes qui ne veulent pas que la logique soit tout. Mais ce n'est pas à ce point de vue que je veux me placer, ce n'est pas ainsi que je veux poser la question. Cet instinct dont nous venons de parler est nécessaire à l'inventeur, mais il semble d'abord qu'on pourrait s'en passer pour étudier la science une fois créée. Eh bien, ce que je veux rechercher, c'est s'il est vrai qu'une fois admis les principes de la logique, on peut je ne dis pas découvrir, mais démontrer toutes les vérités mathématiques sans faire de nouveau appel à l'intuition.

Искать происхождение этого инстинкта, изучать законы этой глубокой геометрии, которые чувствуются, но словесно не форму лируются — вот прекрасная задача для философов, которые не допускают, что логикой исчерпывается все. Но не на эту точку зрения хочу я стать, не так хочу я ставить вопрос. Инстинкт о котором мы только что говорили, необходим изобретателю, но на первый взгляд кажется, будто при изучении уже созданной науки можно обойтись и без него. И вот я хочу исследовать, можно ли, приняв однажды принципы логики, я уж не говорю открыть, но даже доказать все математические истины, не прибегая снова к интуиции.

A cette question, j'avais autrefois répondu que non (Voir Science et Hypothèse, chapitre I^er) ; notre réponse doit-elle être modifiée par les travaux récents ? Si j'avais répondu non, c'est parce que " le principe d'induction complète " me paraissait à la fois nécessaire au mathématicien et irréductible à la logique. On sait quel est l'énoncé de ce principe :

На этот вопрос я однажды уже дал отрицательный ответ (см. "Наука и гипотеза", глава I). Должен ли я этот ответ изменить ввиду появившихся новых трудов? Если я в то время ответил отрицательно, то это потому, что "принцип совершенной индукции" казался мне, с одной стороны, необходимым для математика, а с другой стороны, не сводимым к логике. Известно, что этот принцип заключается в следующем.

" Si une propriété est vraie du nombre 1, et si l'on établit qu'elle est vraie de n + 1 pourvu qu'elle le soit de n, elle sera vraie de tous les nombres entiers. "

"Если какое-либо свойство справедливо относительно числа 1 и если установлено, что оно справедливо относительно числа n+1, коль скоро оно справедлво относительно числа n, то оно будет верно для всех целых чисел".

J'y voyais le raisonnement mathématique par excellence. Je ne voulais pas dire, comme on l'a cru, que tous les raisonnements mathématiques peuvent se réduire à une application de ce principe. En examinant ces raisonnements d'un peu près, on y verrait appliqués beaucoup d'autres principes analogues, présentant les mêmes caractères essentiels. Dans cette catégorie de principes, celui de l'induction complète est seulement le plus simple de tous et c'est pour cela que je l'ai choisi pour type.

В этом я по преимуществу видел математическое суждение. Я не хотел этим сказать, как некоторые это думали, что все математические суждения могут быть сведены к приложению этого принципа. Исследуя эти суждения ближе, можно заметить, что в них применяются многие другие аналогичные принципы, обладающие теми же существенными признаками. В их ряду принцип полной индукции является лишь простейшим, и вот почему я остановился на нем как на типичном.

Le nom de principe d'induction complète qui a prévalu n'est pas justifié. Ce mode de raisonnement n'en est pas moins une véritable induction mathématique qui ne diffère de l'induction ordinaire que par sa certitude.

Название принципа совершенной индукции, упрочившееся за этой формой суждения, не может быть признано правильным. Этот способ суждения представляет настоящую математическую индукцию, которая отличается от обыкновенной индукции только степенью своей достоверности.

L'existence de pareils principes est une difficulté pour les logiciens intransigeants ; comment prétendent-ils s'en tirer ? Le principe d'induction complète, disent-ils, n'est pas un axiome proprement dit ou un jugement synthétique a priori ; c'est tout simplement la définition du nombre entier. C'est donc une simple convention. Pour discuter cette manière de voir, il nous faut examiner d'un peu près les relations entre les définitions et les axiomes.

Существование подобных принципов ставит непримиримых логиков в затруднительное положение. Но как думают они выпутаться из него? Принцип полной индукции, говорят они, не есть аксиома в собственном смысле слова или априорное синтетическое суждение, он есть просто определение целого числа. Следовательно, этот принцип является простым соглашением. Чтобы разобраться в этой точке зрения, нужно подробнее исследовать отношения между определениями и аксиомами.

Reportons-nous d'abord à un article de M. Couturat sur les définitions mathématiques, qui a paru dans l'Enseignement mathématique, revue publiée chez Gauthier-Villars et chez Georg à Genève. Nous y verrons une distinction entre la définition directe et la définition par postulats.

Обратимся сначала к статье Кутюра о математических определениях, появившейся в выходящем в Женеве журнале "Математическое образование". Мы найдем здесь различие между прямым определением и определением при помощи постулатов.

" La définition par postulats, dit M. Couturat, s'applique, non à une seule notion, mais à un système de notions ; elle consiste à énumérer les relations fondamentales qui les unissent et qui permettent de démontrer toutes leurs autres propriétés ; ces relations sont des postulats... "

"Определение при помощи постулатов, — говорит Кутюра, — применяется не к одному понятию, а к системе понятий; оно заключается в перечислении основных соотношений, их связывающих и позволяющих доказать все прочие их свойства; эти соотношения и суть постулаты"...

Si l'on a défini préalablement toutes ces notions, sauf une, alors cette dernière sera par définition l'objet qui vérifie ces postulats.

Если предварительно были определены все эти понятия, за исключением одного, то это последнее и будет по определению тем объектом, который проверяет эти постулаты.

Ainsi certains axiomes indémontrables des mathématiques ne seraient que des définitions déguisées. Ce point de vue est souvent légitime ; et je l'ai admis moi-même en ce qui concerne par exemple le postulatum d'Euclide.

Итак, некоторые недоказуемые аксиомы математики суть лишь скрытые определения. Такая точка зрения часто правомерна, и я сам ее принял, когда шел вопрос, например, о постулате Евклида.

Les autres axiomes de la géométrie ne suffisent pas pour définir complètement la distance ; la distance sera alors, par définition, parmi toutes les grandeurs qui satisfont à ces autres axiomes, celle qui est telle que le postulatum d'Euclide soit vrai.

Другие аксиомы геометрии недостаточны для полного определения расстояния между двумя точками. Ввиду этого из всех величин, удовлетворяющих этим остальным аксиомам, расстояние будет по определению той именно величиной, которая удовлетворяет постулату Евклида.

Eh bien, les logiciens admettent pour le principe d'induction complète, ce que j'admets pour le postulatum d'Euclide, ils ne veulent y voir qu'une définition déguisée.

Так вот логики в применении к принципу совершенной индукции допускают то же самое, что я допускаю относительно постулата Евклида; они хотят видеть в этом принципе только скрытое определение.

Mais pour qu'on ait ce droit, il y a deux conditions à remplir. Stuart Mill disait que toute définition implique un axiome, celui par lequel on affirme l'existence de l'objet défini. A ce compte, ce ne serait plus l'axiome qui pourrait être une définition déguisée, ce serait au contraire la définition qui serait un axiome déguisé. Stuart Mill entendait le mot existence dans un sens matériel et empirique ; il voulait dire qu'en définissant le cercle, on affirme qu'il y a des choses rondes dans la nature.

Но они вправе это сделать лишь при двух условиях. Стюарт Милль сказал, что всякое определение заключает в себе одну аксиому, а именно ту, которая утверждает существование определяемого объекта. В таком случае не аксиома будет скрытым определением, а, напротив, определение будет скрытой аксиомой. Милль понимал слово "существование" в эмпирическом и материальном смысле слова. Он хотел сказать, что, определяя крут, утверждают тем самым, что в природе имеются круглые предметы.

Sous cette forme, son opinion est inadmissible. Les mathématiques sont indépendantes de l'existence des objets matériels ; en mathématiques le mot exister ne peut avoir qu'un sens, il signifie exempt de contradiction. Ainsi rectifiée, la pensée de Stuart Mill devient exacte ; en définissant un objet, on affirme que la définition n'implique pas contradiction.

В таком виде его мнение неприемлемо. Математика не зависит от существования материальных объектов. В математике слово "существующее" имеет только один смысл и обозначает: "свободное от противоречия". При такой поправке мысль Стюарта Милля становится точной; определяя какой-нибудь объект, мы утверждаем, что определение не заключает противоречия.

Si nous avons donc un système de postulats, et si nous pouvons démontrer que ces postulats n'impliquent pas contradiction, nous aurons le droit de les considérer comme représentant la définition de l'une des notions qui y figurent. Si nous ne pouvons pas démontrer cela, il faut que nous l'admettions sans démonstration et cela sera alors un axiome ; de sorte que si nous voulions chercher la définition sous le postulat, nous retrouverions encore l'axiome sous la définition.

Если, следовательно, мы имеем систему постулатов и если мы можем доказать, что эти постулаты не заключают противоречия, то мы вправе рассматривать их как определения одного из тех понятий, которые фигурируют в этой системе предложений. Если мы этого доказать не можем, то мы допускаем понятие без доказательства. Тогда мы имеем аксиюму; и если мы искали определение в постулатах, то мы обратно находим аксиому в определении.

Le plus souvent, pour démontrer qu'une définition n'implique pas contradiction, on procède par l'exemple, on cherche à former un exemple d'un objet satisfaisant à la définition. Prenons le cas d'une définition par postulats ; nous voulons définir une notion A, et nous disons que, par définition, un A, c'est tout objet pour lequel certains postulats sont vrais. Si nous pouvons démontrer directement que tous ces postulats sont vrais d'un certain objet B, la définition sera justifiée ; l'objet B sera un exemple d'un A. Nous serons certains que les postulats ne sont pas contradictoires, puisqu'il y a des cas où ils sont vrais tous à la fois.

Чаще всего, для того чтобы доказать, что определение не заключает противоречия, прибегают к методу примеров: пытаются создать пример предмета, удовлетворяющий определению. Возьмем определение, выражаемое при помощи постулатов. Мы хотим определить понятие А и говорим, что, согласно определению, А есть всякий предмет, для которого известные постулаты истинны. Если мы можем прямо доказать, что все эти постулаты истинны дли известного предмета В, то определение будет оправдано, и предмет В будет примером понятия А. Мы будем уверены, что постулаты непротиворечивы, так как имеются случаи, в которых все они оказываются истинными.

Mais une pareille démonstration directe par l'exemple n'est pas toujours possible.

Но такое прямое доказательство при помощи примера не всегда возможно.

Pour établir que les postulats n'impliquent pas contradiction, il faut alors envisager toutes les propositions que l'on peut dédire de ces postulats considérés comme prémisses et montrer que, parmi ces propositions, il n'y en a pas deux dont l'une soit la contradictoire de l'autre. Si ces propositions sont en nombre fini, une vérification directe est possible. Ce cas est peu fréquent et d'ailleurs peu intéressant.

Чтобы установить, что постулаты не содержат в себе противоречия, нужно рассмотреть все предложения, которые могут быть выведены из данных постулатов как посылок, и показать, что среди этих предложений нет двух, противоречащих друг другу. Если число этих предложений конечное, то прямая проверка возможна. Но такой случай и встречается редко, и интереса не представляет.

Si ces propositions sont en nombre infini, on ne peut plus faire cette vérification directe ; il faut recourir à des procédés de démonstration où en général on sera forcé d'invoquer ce principe d'induction complète qu'il s'agit précisément de vérifier.

Если же число этих предложений оказывается неограниченным, то прямая проверка уже невозможна. Тогда необходимо обратиться к таким способам доказательства, в которых вообще нельзя обойтись без принципа полной индукции, т. е. того принципа, кото-рый именно и надлежит проверить.

Nous venons d'expliquer l'une des conditions auxquelles les logiciens devaient satisfaire et nous verrons plus loin qu'ils ne l'ont pas fait.

Мы указали на одно условие, которому логики должны были удовлетворить, и мы увидим ниже, что они ему не удовлетворили.

Il y en a une seconde. Quand nous donnons une définition, c'est pour nous en servir.

Есть еще другое условие. Если мы даем определение, то мы делаем это для того, чтобы им пользоваться.

Nous retrouverons donc dans la suite du discours le mot défini ; avons-nous le droit d'affirmer, de l'objet représenté par ce mot, le postulat qui a servi de définition ? Oui, évidemment, si le mot a conservé son sens, si nous ne lui attribuons pas implicitement un sens différent. Or c'est ce qui arrive quelquefois et il est le plus souvent difficile de s'en apercevoir ; il faut voir comment ce mot s'est introduit dans notre discours, et si la porte par laquelle il est entré n'implique pas en réalité une autre définition que celle qu'on a énoncée.

В пределах некоторого рассуждения, например, мы неоднократно встречаемся с определяемым словом. Возникает вопрос: вправе ли мы в отношении к предмету, который мы в этом рассуждении называем нашим термином, утверждать тот постулат, который послужил для его определения? Очевидно, вправе, если термин сохранил свой смысл, если мы неявно (implicite) не приписали ему другого значения. Но иногда такое изменение смысла имеет место и при этом чаще всего остается незамеченным. Необходимо убедиться, каким путем это слово проникло в наше рассуждение, не вошло ли оно в другом определении, отличающемся от того, которое было формулировано первоначально.

Cette difficulté se présente dans toutes les applications des mathématiques. La notion mathématique a reçu une définition très épurée et très rigoureuse ; et pour le mathématicien pur toute hésitation a disparu ; mais si on veut l'appliquer aux sciences physiques par exemple, ce n'est plus à cette notion pure que l'on a affaire, mais à un objet concret qui n'en est souvent qu'une image grossière. Dire que cet objet satisfait, au moins approximativement, à la définition, c'est énoncer une vérité nouvelle, que l'expérience peut seule mettre hors de doute, et qui n'a plus le caractère d'un postulat conventionnel.

Это затруднение встречается во всех приложениях математического знания. Математическое понятие получило вполне чистое и строгое определение, которое не возбуждает никаких колебаний в чистой математике. Но, когда мы его применяем, например, к физическим наукам, тут мы уже имеем дело не с этим чистым понятием, но с конкретным предметом, который зачастую является лишь грубым образом этого понятия. Сказать, что этот предмет удовлетворяет, хотя бы приблизительно, определению, это значит высказать новую истину, которая может быть подтверждена только опытом и которая уже не имеет характера условного постулата.

Mais, sans sortir des mathématiques pures, on rencontre encore la même difficulté.

Но то же затруднение встречается и в пределах чистой математики.

Vous donnez du nombre une définition subtile ; puis, une fois cette définition donnée, vous n'y pensez plus ; parce qu'en réalité, ce n'est pas elle qui vous a appris ce que c'était que le nombre, vous le saviez depuis longtemps, et quand le mot nombre se retrouve plus loin sous votre plume, vous y attachez le même sens que le premier venu ; pour savoir quel est ce sens et s'il est bien le même dans telle phrase ou dans telle autre, il faut voir comment vous avez été amené à parler de nombre et à introduire ce mot dans ces deux phrases. Je ne m'explique pas davantage sur ce point pour le moment, car nous aurons l'occasion d'y revenir.

Вы даете тонкое определение числа. Но, однажды дав его, вы о нем больше не думаете, ибо в действительности не из этого определения вы узнали, что такое число, а вам это уже давно было известно; и когда в дальнейшем вы употребляете слово "число", вы приписываете ему такое же значение, какое ему дает первый встречный. Чтобы узнать, каково это значение и остается ли оно одним и тем же в той или другой фразе, необходимо проследить, что заставило вас заговорить о числе и ввести это слово в обе фразы. Я не буду больше здесь по этому поводу распространяться, так как нам еще представится случай вернуться к этому вопросу.

Ainsi voici un mot dont nous avons donné explicitement une définition A ; nous en faisons ensuite dans le discours un usage qui suppose implicitement une autre définition B. Il est possible que ces deux définitions désignent un même objet. Mais qu'il en soit ainsi, c'est une vérité nouvelle, qu'il faut, ou bien démontrer, ou bien admettre comme un axiome indépendant.

Итак, вот слово, которому мы явно (explicite) дали некоторое определение A; затем мы пользовались им в рассуждении таким образом, что неявно (implicite) внесли другое его определение В. Возможно, что оба определения обозначают одно и то же. Но самая эта возможность есть уже новая истина, которую нужно либо доказать, либо допустить как независимую аксиому.

Nous verrons plus loin que les logiciens n'ont pas mieux rempli la seconde condition que la première.

Мы увидим ниже, что логики столь же мало удовлетворили второму условию, сколько первому.

Les définitions du nombre sont très nombreuses et très diverses ; je renonce à énumérer même les noms de leurs auteurs. Nous ne devons pas nous étonner qu'il y en ait tant. Si l'une d'elles était satisfaisante, on n'en donnerait plus de nouvelle. Si chaque nouveau philosophe qui s'est occupé de cette question a cru devoir en inventer une autre, c'est qu'il n'était pas satisfait de celles de ses devanciers, et s'il n'en était pas satisfait, c'est qu'il croyait y apercevoir une pétition de principe.

Определения числа чрезвычайно многочисленны и разнообразны; я отказываюсь даже перечислить имена авторов, давших эти определения. В этом нет ничего удивительного. Если бы одно из них было удовлетворительно, не было бы нужды в прочих. Если всякий новый философ, занимавшийся этим вопросом, считал необходимым изобрести другое определение, то это потому, что определения предшественников его не удовлетворяли, а не удовлетворяли они его потому, что он усматривал в них petitio principii (3).

J'ai toujours éprouvé, en lisant les écrits consacrés à ce problème, un profond sentiment de malaise ; je m'attendais toujours à me heurter à une pétition de principe et, quand je ne l'apercevais pas tout de suite, j'avais la crainte d'avoir mal regardé.

Когда я читал труды, посвященные этой проблеме, я всегда испытывал чувство беспокойства; я ожидал, что натолкнусь на petitio principii, и если не встречал этой логической ошибки с самого начала, то всегда опасался, что просмотрел ее.

C'est qu'il est impossible de donner une définition sans énoncer une phrase, et difficile d'énoncer une phrase sans y mettre un nom de nombre, ou au moins le mot plusieurs, ou au moins un mot au pluriel. Et alors la pente est glissante et à chaque instant on risque de tomber dans la pétition de principe.

И это потому, что невозможно дать определение, не выражая его при помощи фразы; с другой стороны, трудно сказать фразу, не вводя в нее слова "число", или слова "несколько", или, наконец, какого-либо слова во множественном числе. И вот уже готова наклонная,плоскость; в каждое мгновение мы рискуем впасть в реtitio principii.

Je ne m'attacherai dans la suite qu'à celles de ces définitions où la pétition de principe est le plus habilement dissimulée.

В дальнейшем я остановлюсь только на тех определениях, в которых petitio principii наиболее искусно скрыто.

Le langage symbolique créé par M. Peano joue un très grand rôle dans ces nouvelles recherches. Il est susceptible de rendre de grands services, mais il me semble que M. Couturat y attache une importance exagérée et qui a dû étonner M. Peano lui-même.

Символический язык, который создал Пеано, играет большую роль в новых исследованиях. Этот язык может оказать некоторые услуги, но мне кажется, что Кутюра приписывает ему такое преувеличенное значение, которое удивило бы и самого Пеано.

L'élément essentiel de ce langage, ce sont certains signes algébriques qui représentent les différentes conjonctions : si, et, ou, donc. Que ces signes soient commodes, c'est possible ; mais qu'ils soient destinés à renouveler toute la philosophie, c'est une autre affaire. Il est difficile d'admettre que le mot si acquiert, quand on l'écrit , une vertu qu'il n'avait pas quand on l'écrivait si.

Существенным элементом в этом языке являются определенные алгебраические знаки, представляющие собой различные союзы; "если", "и", "или", "следовательно". Возможно, что эти знаки и удобны, но призваны ли они обновить всю философию — это совершенно другой вопрос. Трудно допустить, чтобы слово "если", изображенное при помощи знака Й , приобрело особенное свойство, которого оно не имело раньше.

Cette invention de M. Peano s'est appelée d'abord la pasigraphie, c'est-à-dire l'art d'écrire un traité de mathématiques sans employer un seul mot de la langue usuelle. Ce nom en définissait très exactement la portée. Depuis on l'a élevée à une dignité plus éminente, en lui conférant le titre de logistique. Ce mot est, paraît-il, employé à l'École de Guerre pour désigner l'art du maréchal des logis, l'art de faire marcher et de cantonner les troupes ; mais ici aucune confusion n'est à craindre et on voit tout de suite que ce nom nouveau implique le dessein de révolutionner la logique.

Это изобретение Пеано названо было сначала пасиграфией, т. е. искусством писать математические трактаты, не употребляя ни одного слова из житейского словаря. Это название очень точно определяет и меру важности самого искусства. Но позже изобретению Пеано было предписано более высокое достоинство, и ему дали название логистики. Последнее слово, кажется, употребляется в военных школах для обозначения искусства квартирмейстера, искусства передвижения и распределения войск; но здесь нет никакого основания опасаться смешения понятий, и сразу видно, что новое слово выражает намерение революционизировать логику.

Nous pouvons voir la nouvelle méthode à l'œuvre dans un mémoire mathématique de M. Burali-Forti, intitulé : Una Questione sui numeri transfiniti, et inséré dans le tome XI des Rendiconti del circolo matematico di Palermo.

Применение нового метода можно видеть в математическом мемуаре Бурали-Форти, озаглавленном: "Вопрос о трансфинитных числах" и помещенном в XI томе "Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo".

Je commence par dire que ce mémoire est très intéressant, et si je le prends ici pour exemple, c'est précisément parce qu'il est le plus important de tous ceux qui sont écrits dans le nouveau langage. D'ailleurs les profanes peuvent le lire grâce à une traduction interlinéaire italienne.

Я должен прежде всего сказать, что этот мсмуар чрезвычайно интересен, и потому именно беру его в качестве примера, что он является важнейшим из всех трудов, написанных на новом языке. К тому же и люди непосвященные легко могут его читать благодаря имеющемуся в нем междустрочному итальянскому переводу.

Ce qui fait l'importance de ce mémoire, c'est qu'il a donné le premier exemple de ces antinomies que l'on rencontre dans l'étude des nombres transfinis et qui font depuis quelques années le désespoir des mathématiciens. Le but de cette note, dit M. Burali-Forti, c'est de montrer qu'il peut y avoir deux nombres transfinis (ordinaux), a et b, tel que a ne soit ni égal à b, ni plus grand, ni plus petit.

Важность этого мемуара заключается в том, что в нем дан первый пример тех антиномий, которые встречаются в изучении трансфинитных чисел и которые на протяжении нескольких лет приводили в отчаяние математиков. Цель настоящего мемуара, говорит Бурали-Форти, это показать, что могут быть два трансфинитных числа (порядковых) a и b, причем a не будет ни равно, ни больше, ни меньше b.

Que le lecteur se rassure, pour comprendre les considérations qui vont suivre, il n'a pas besoin de savoir ce que c'est qu'un nombre ordinal transfini.

Пусть читатель будет спокоен; чтобы понять рассуждение, которое последует, ему нет необходимости знать, что такое порядковое трансфинитное число.

Or Cantor avait précisément démontré qu'entre deux nombres transfinis, il ne peut y avoir d'autre relation que l'égalité, ou l'inégalité dans un sens ou dans l'autre. Mais ce n'est pas du fond de ce mémoire que je veux parler ici ; cela m'entraînerait beaucoup trop loin de mon sujet ; je veux seulement m'occuper de la forme, et précisément je me demande si cette forme lui fait beaucoup gagner en rigueur et si elle compense par là les efforts qu'elle impose à l'écrivain et au lecteur.

Между тем Кантор точно показал, что между двумя трансфинитными числами, как и между двумя конечными числами, не может быть другого отношения, кроме равенства либо неравенства в ту или другую сторону. Но не о сути этого мемуара хочу я здесь говорить, это увлекло бы меня далеко от моего предмета. Я хочу лишь заняться формой и задаюсь вопросом, много ли выиграл автор в строгости положений, применяя эту форму, и вознаграждает ли она за те усилия, которые писатель и читатель должны употребить.

Nous voyons d'abord M. Burali-Forti définir le nombre 1 de la manière suivante :

Мы видим, что Бурали-Форти определяет число 1 следующим образом:

1 = iT '{KoЗ(u, h )e(ueUn)}

définition éminemment propre à donner une idée du nombre 1 aux personnes qui n'en auraient jamais entendu parler.

Это определение в высшей степени подходит для того, чтобы дать представление о числе 1 тем лицам, которые никогда о нем ничего не слышали!

J'entends trop mal le Péanien pour oser risquer une critique, mais je crains bien que cette définition ne contienne une pétition de principe, attendu que j'aperçois 1 en chiffre dans le premier membre et Un en toutes lettres dans le second.

Я слишком мало понимаю приверженцев Пеано, чтобы рискнуть его критиковать; но я опасаюсь, что это определение заключает petitio principii, так как я вижу цифру 1 в первой части и изображенное буквами слово "один" (Un) во второй части равенства.

Quoi qu'il en soit, M. Burali-Forti part de cette définition et, après un court calcul, il arrive à l'équation :

Как бы то ни было, Бурали-Форти исходит из этого определения и после коротких вычислений приходит к уравнению (27)

1eNO

qui nous apprend que Un est un nombre.

которое дает нам понять, что "один" есть число.

Et puisque nous en sommes à ces définitions des premiers nombres, rappelons que M. Couturat a défini également 0 et 1.

Так как нам теперь приходится иметь дело с определениями простых чисел, то мы напомним, что Кутюра также определил 0 и 1.

Qu'est-ce que zéro ? c'est le nombre des éléments de la classe nulle ; et qu'est-ce que la classe nulle ? c'est celle qui ne contient aucun élément.

Что такое нуль? Это число элементов нулевого класса. А что такое нулевой класс? Это класс, который не содержит никакого элемента.

Définir zéro par nul, et nul par aucun, c'est vraiment abuser de la richesse de la langue française ; aussi M. Couturat a-t-il introduit un perfectionnement dans sa définition, en écrivant :

Определять нуль при помощи нулевого класса, а нулевой класс при помощи термина "никакой" — это значит поистине злоупотреблять богатством языка; поэтому Кутюра ввел усовершенствование в свое определение, написав:

1 = iL:jx = L. Й . L = (xe jx),

ce qui veut dire en français : zéro est le nombre des objets qui satisfont à une condition qui n'est jamais remplie.

что обозначает: нуль есть число предметов, удовлетворяющих такому условию, которое никогда не выполняется.

Mais comme jamais signifie en aucun cas je ne vois pas que le progrès soit considérable.

Но так как "никогда" обозначает "ни в одном случае", то я не вижу значительного успеха в этой замене.

Je me hâte d'ajouter que la définition que M. Couturat donne du nombre 1 est plus satisfaisante.

Спешу прибавить, что определение, которое Кутюра дает числу 1, более удовлетворительно.

Un, dit-il en substance, est le nombre des éléments d'une classe dont deux éléments quelconques sont identiques.

"Один, — говорит он, — в сущности, есть число элементов класса, два любых элемента коего тождественны".

Elle est plus satisfaisante, ai-je dit, en ce sens que pour définir 1, il ne se sert pas du mot un ; en revanche, il se sert du mot deux. Mais j'ai peur que si on demandait à M. Couturat ce que c'est que deux, il ne soit obligé de se servir du mot un.

Это определение более удовлетворительно, как я сказал, в том смысле, что для определения понятия 1 автор не пользуется словом "один". Но зато он пользуется словом "два". И я боюсь, что если спросить у Кутюра, что такое "два", то он должен будет в ответе воспользоваться словом "один".

Mais revenons au mémoire de M. Burali-Forti ; j'ai dit que ses conclusions sont en opposition directe avec celles de Cantor. Or un jour, je reçus la visite de M. Hadamard et la conversation tomba sur cette antinomie.

Вернемся к мемуару Бурали-Форти. Я сказал, что его заключения прямо противоположны выводам Кантора. Но однажды меня посетил Адамар. Разговор коснулся этой антиномии.

" Le raisonnement de Burali-Forti, lui disais-je, ne vous semble-t-il pas irréprochable ?

— Не кажется ли вам, — сказал я, — что рассуждение Бурали-Форти безупречно?

- Non, et au contraire je ne trouve rien à objecter à celui de Cantor. D'ailleurs Burali-Forti n'avait pas le droit de parler de l'ensemble de tous les nombres ordinaux.

Нет, напротив, я не вижу в нем никаких возражений Кантору. Кроме того, Бурали-Форти не имел права говорить о совокупности всех порядковых чисел.

- Pardon, il avait ce droit, puisqu'il pouvait toujours poser

Простите, он имел это право, потому что всегда мог написать;

W = T '(No,e>).

Je voudrais bien savoir qui aurait pu l'en empêcher, et peut-on dire qu'un objet n'existe pas, quand on l'a appelé Ω ? "

— Я хотел бы знать, кто бы мог ему в этом воспрепятствовать, и можно ли сказать, что предмет не существует, если его назвали W?

Ce fut en vain, je ne pus le convaincre (ce qui d'ailleurs eût été fâcheux, puisqu'il avait raison). Était-ce seulement parce que je ne parlais pas le péanien avec assez d'éloquence ? peut-être ; mais entre nous je ne le crois pas.

Мои старания были тщетны, убедить Адамара я не мог (противоположное было бы, впрочем, очень прискорбно, так как он был прав). Потому ли это было, что я не говорил достаточно красноречиво на языке Пеано? Возможно; но, между нами говоря, я этого не думаю.

Ainsi, malgré tout cet appareil pasigraphique, la question n'était pas résolue. Qu'est-ce que cela prouve ? Tant qu'il s'agit seulement de démontrer que un est un nombre, la pasigraphie suffit, mais si une difficulté se présente, s'il y a une antinomie à résoudre, la pasigraphie devient impuissante.

Таким образом, несмотря на весь этот пасиграфический аппарат, вопрос не был разрешен. Что это доказывает? Когда вопрос идет только о том, чтобы доказать, что один есть число, пасиграфия достаточна; но если представляется затруднение, если возникает антиномия, требующая разрешения, то пасиграфия становится бессильной.